OCTUBRE

FECHA: 14 DE OCTUBRE DEL 2016

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO.

i) En R2

F(x,y)=0         Función implícita de dos variables

Generalmente las funciones implícitas de dos variables representan una curva en el plano R2

Sistema de funciones implícitas

F(x,y)=0     

G(x,y)=0 

Cada función implícita representa una curva, entonces la intersección de estas curvas generan uno o más puntos de intersección.

ii) En R3           

F(x,y,z)=0     Función implícita de tres variables

F(x,y)=0         Representa la generatriz paralela a la variable que no tenemos

Geométricamente una función F(x,y,z)=0 en R3 representa una superficie  cuya generatriz no es paralela a ninguno de los ejes.

Geométricamente una función F(x,y)=0 en R3 representa una superficie con generatriz paralela al eje oz.

Nota: En el plano se generan curvas (R2) y en el espacio son superficies (R3)

Ejemplo

x^2+y^2+z^2 =0       F(x,y,z)=0 (Representa una superficie esférica)

Si F(x,y,z)=0 es de primer grado, entonces geométrica mente representa un plano en R3

Ecuación General del plano:

A(x-x1)+ B(y-y1)+ C(z-z1)=0

Ax+By+Cz-D=0

SISTEMA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS.

F(x,y,z)=0

G(x,y,z)=0

La intersección de dos superficies genera una curva:

Si, se tiene un sistema de 3 funciones implícitas

F(x,y,z)=0

G(x,y,z)=0

H(x,y,z)=0

La intersección de estas 3 superficies genera puntos

EL PLANO

ECUACIONES INCOMPLETAS

Partiendo de le ecuación general    Ax+By+Cz-D=0

i) Si,   C=0       entonces   Ax+By+D=0   Plano con generatriz paralela al eje 0Z

ii) Si,   C=D=0   entonces  Ax+By=0   Plano que contiene al eje 0Z

iii) Si,   B=C=0     entonces   Ax+D=0 

    x=-D/A     Plano perpendicular al eje 0X, o 

                    Paralelo al plano Y0Z

iv) Si,   B=C=D=0    entonces   Ax=0   

       x=0       Plano  Y0Z

z=0   Ecuación del plano X0Y 

y=0   Ecuación del plano X0Z

z=K   K pertenece a los reales  entonces  no da una Ecuación del plano paralelo al plano  X0Y movido por K unidades por arriba o por abajo del plano X0Y.

FECHA: 25 DE OCTUBRE DEL 2016

ECUACIÓN SEGMENTARIA DEL PLANO

Partiendo de la ecuación general  Ax+By+Cz-D=0  tenemos Ax+By+Cz=D

Donde procedemos a dividir a la ecuación para (-D)  tenemos : 

Nota: Se puede dar cuenta que es una ecuación segmentaria cuando esta igualado a 1

ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO 

Usando la ecuación del producto punto y el unitario de un vector n en el espacio, se consiguió la ecuación normal del plano en función de los cosenos directores.

Ec. Normal: 0= xcosα + ycosβ + zcosγ – p

NORMALIZACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO

Utilizando la ecuación normal del plano y multiplicándola por un factor normalizante (u), se obtiene la ecuación general del plano normalizado.

Partiendo de la Ec. General: Ax+By+Cz+D=0  y 

la Ec. Normal:  xcosα + ycosβ + zcosγ – p=0

Llegaremos a la siguiente expresión:

Nota: El signo de "U" debe ser contrario al signo del coeficiente "D" en la ecuación general

Desviación de un punto respecto a un plano

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO 

Fórmula de la distancia de un punto a un plano:

En el siguiente video se puede observar un ejemplo práctico y la deducción de la fórmula.

FECHA: 28 DE OCTUBRE DEL 2016

PLANO DETERMINADO POR 3 PUNTOS

https://www.youtube.com/watch?v=BUAdnYbdWQ4&feature=youtu.be

Para encontrar la ecuación del plano dado tres putos (r1, r2, r3), tomamos cualquier punto que este en el plano y realizamos el producto mixto, donde tendremos la Ecuación Vectorial del plano.

(r-r1).(r2-r1)x(r3-r1)=0

Observaciones:

• Si el producto mixto es igual a cero, entonces los tres vectores involucrados son aplanares.
• El producto mixto geometricamente representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los 3 vectores. 

LA RECTA EN R3.

La ecuación de la recta, al igual que en el plano, viene determinada por:

Un punto (P) y un vector (v) : P (a, b, c) , v = (v1,v2,v3)

o dos puntos: P (a1,b1,c1) y Q (a2,b2,c2), de los cuales para escribir la ecuación de la recta elegiríamos uno de ellos y el vector que determinan:

A partir de este momento, ya estamos en condiciones de dar a conocer las distintas formas en que nos podemos encontrar las ecuaciones de una recta:

Ecuación vectorial de la recta:

Si escribimos por separado cada una de las componentes obtenemos las ecuaciones para métricas:

Despejando t de cada uno de las ecuaciones anteriores e igualando obtenemos la ecuación en forma continua de la recta:

Observaciones:

• La recta es un caso particular de una curva ALABEADA
• Se puede proyectar una recta sobre cualquier plano coordenado

ECUACIÓN DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS.

En el siguiente video se da un ejemplo de la ecuación de la recta dado dos puntos.