DICIEMBRE

FECHA: 1/12/2016

DERIVADAS PARCIALES

Derivada parcial de primer orden en R2.

Derivada parcial de primer orden en R3

Existen tantas derivadas parciales como variables independientes tenga  la función.

W= f(X,Y,Z)

X, Y, Z: variables independientes

W: variable dependiente

Derivada parcial de segundo orden en R2.

 

  

Derivadas de orden superior.

Estas derivadas son derivadas parciales de segundo, tercer, hasta orden n.

Si z=f(x, y)

• Existen 2^n derivadas parciales de orden “n”
• Si u=(x1,x2,x3,x4…xn) entonces existen “n” derivadas parciales de primer orden.
• Existen n^m derivadas parciales de orden “m”
• Si w=f(x,y,z) entonces existen 3^n derivadas parciales de orden “n”

Si z=f(x, y)    R2

Si w= f(x,y,z)    R3

ECUACIONES DE LAPLACE.

Si una función f(x,y) satisface la Ecuación de laplace, se dice que f es función  armónica.

FECHA: 13/12/2016

REGLA DE LA CADENA

En R2

f:          A → B

            x → y = f(x) ; x = x(t)

En donde

x: variable aparente

y: variable dependiente

t: independiente

En R3

f:          D que pertenece R2 → R

                                      (x,y) → z= f(x,y) ; x = x(t) ; y = (t)

En donde

z: variable dependiente

x, y: variable aparente

t: variable independiente

DERIVADAS DIRECCIONALES

La derivada direccional de f en (Xo,Yo) en la dirección de un vector unitario U=(a,b) es:

Si f es una función diferenciable de X, y Y , entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario U=(a,b)

La derivada direccional se puede escribir como el producto punto de dos vectores.

Si f es una función de dos variables X y Y, entonces el Gradiente de f es la función vectorial. 

PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES

Sea z=f(x,y) donde la derivada de la función con respecto a (x) y la derivada de la función con respecto a (y) son continuas en Po(xo,yo,zo), un punto de f(x,y)

Sea C1 y C2 las curvas que se obtienen al intersecar los planos verticales y=yo y x=xo con la superficie que representa f

Sean T1 y T2 las rectas tangentes a C1 y C2 respectivamente en Po(xo,yo,zo),, entonces el plano tangente a la superficie en Po(xo,yo,zo) se define como el plano que contiene a las rectas tangentes T1 y T2

La ecuación del plano tangente:

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES

En R2

f:          A → B

            x → y = f(x)

En R3

f:          D que pertenece R2 → R

                                     (x,y) → z= f(x,y) 

FECHA: 20/12/2016

 APROXIMACIÓN LINEAL

Suponga que f(x,y) tiene derivadas parciales de primer orden continuas en una región rectangular con lados verticales y horizontales y que contiene a los puntos P(a,b) y Q(a+∆x , b+∆y) en su interior sea:

∆f = f(a+∆x , b+∆y) - f(a,b)

El incremento corresponde en el valor de f

∆f = fx(a,b) ∆x + fy(a,b) ∆y + E1∆x +E2∆y

Donde

E1 y E2 : funciones de (∆x) y (∆y) que tienden a cero 

PUNTOS EXTREMOS

SEGUNDA DERIVADA

Suponga que las derivadas parciales de segundo orden de f son continuas en un disco de centro (a,b) y suponga que:

fx(a,b)=0

fy(a,b)=0

Es decir que P(a,b) es un punto critico de f . Sea: